Probabilità per il lancio di due dadi
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Un modo popolare per studiare la probabilità è tirare i dadi. Un dado standard ha sei lati stampati con puntini numerati 1, 2, 3, 4, 5 e 6. Se il dado è giusto (e lo faremo assumere che lo sono tutti), allora ciascuno di questi risultati è ugualmente probabile. Poiché ci sono sei possibili esiti, la probabilità di ottenere qualsiasi lato del dado è 1/6. La probabilità di ottenere un 1 è 1/6, la probabilità di ottenere un 2 è 1/6 e così via. Ma cosa succede se aggiungiamo un altro dado? Quali sono le probabilità di lanciare due dadi?
Probabilità del lancio dei dadi
Per determinare correttamente la probabilità di un lancio di dadi, dobbiamo sapere due cose:
- La dimensione del spazio campionario o l'insieme dei risultati possibili totali
- Quante volte si verifica un evento
In probabilità , un evento è un determinato sottoinsieme dello spazio campionario. Ad esempio, quando viene lanciato un solo dado, come nell'esempio sopra, lo spazio campione è uguale a tutti i valori sul dado o sul set (1, 2, 3, 4, 5, 6). Poiché il dado è giusto, ogni numero nel set compare una sola volta. In altre parole, la frequenza di ogni numero è 1. Per determinare la probabilità di tirare uno qualsiasi dei numeri sul dado, dividiamo la frequenza dell'evento (1) per la dimensione dello spazio campionario (6), risultando in una probabilità di 1/6.
Tirare due dadi equi raddoppia più del doppio la difficoltà di calcolare le probabilità. Questo perché tirare un dado è indipendente dal tirare un secondo. Un tiro non ha effetto sull'altro. Quando abbiamo a che fare con eventi indipendenti usiamo il regola di moltiplicazione . L'uso di un diagramma ad albero dimostra che ci sono 6 x 6 = 36 possibili risultati dal lancio di due dadi.
Supponiamo che il primo dado che tiriamo sia 1. L'altro dado potrebbe essere 1, 2, 3, 4, 5 o 6. Ora supponiamo che il primo dado sia 2. L'altro tiro di dado potrebbe essere di nuovo a 1, 2, 3, 4, 5 o 6. Abbiamo già trovato 12 potenziali risultati e dobbiamo ancora esaurire tutte le possibilità del primo dado.
Tabella delle probabilità di lanciare due dadi
I possibili risultati del lancio di due dadi sono rappresentati nella tabella seguente. Si noti che il numero di risultati totali possibili è uguale allo spazio campionario del primo dado (6) moltiplicato dallo spazio campionario del secondo dado (6), che è 36.
| 1 | Due | 3 | 4 | 5 | 6 | |
| 1 | (undici) | (1, 2) | (1, 3) | (1, 4) | (quindici) | (1, 6) |
| Due | (ventuno) | (2, 2) | (23) | (2, 4) | (2, 5) | (2, 6) |
| 3 | (3, 1) | (3, 2) | (3, 3) | (3.4) | (3, 5) | (3, 6) |
| 4 | (4, 1) | (4, 2) | (4, 3) | (4, 4) | (Quattro cinque) | (4, 6) |
| 5 | (5, 1) | (5, 2) | (5, 3) | (5, 4) | (5, 5) | (5, 6) |
| 6 | (6, 1) | (6, 2) | (6, 3) | (6, 4) | (6, 5) | (6, 6) |
Tre o più dadi
Lo stesso principio vale se ci stiamo lavorando problemi che coinvolgono tre dadi . Moltiplichiamo e vediamo che ci sono 6 x 6 x 6 = 216 possibili risultati. Poiché diventa complicato scrivere la moltiplicazione ripetuta, possiamo usare gli esponenti per semplificare il lavoro. Per due dadi, ce ne sono 6Duepossibili esiti. Per tre dadi, ce ne sono 63possibili esiti. In generale, se rotoliamo n dadi, quindi ci sono un totale di 6 n possibili esiti.
Esempi di problemi
Con questa conoscenza, possiamo risolvere tutti i tipi di problemi di probabilità:
1. Vengono lanciati due dadi a sei facce. Qual è la probabilità che la somma dei due dadi sia sette?
Il modo più semplice per risolvere questo problema è consultare la tabella sopra. Noterai che in ogni riga c'è un lancio di dadi in cui la somma dei due dadi è pari a sette. Poiché ci sono sei righe, ci sono sei possibili esiti in cui la somma dei due dadi è pari a sette. Il numero totale di risultati possibili rimane 36. Ancora una volta, troviamo la probabilità dividendo la frequenza dell'evento (6) per la dimensione dello spazio campionario (36), risultando in una probabilità di 1/6.
2. Vengono lanciati due dadi a sei facce. Qual è la probabilità che la somma dei due dadi è tre?
Nel problema precedente, potresti aver notato che le celle in cui la somma dei due dadi è uguale a sette formano una diagonale. Lo stesso vale qui, tranne che in questo caso ci sono solo due celle in cui la somma dei dadi è tre. Questo perché ci sono solo due modi per ottenere questo risultato. Devi tirare un 1 e un 2 oppure devi tirare un 2 e un 1. Le combinazioni per ottenere una somma di sette sono molto maggiori (1 e 6, 2 e 5, 3 e 4, e così via). Per trovare la probabilità che la somma dei due dadi sia tre, possiamo dividere la frequenza dell'evento (2) per la dimensione dello spazio campionario (36), ottenendo una probabilità di 1/18.
3. Vengono lanciati due dadi a sei facce. Qual è la probabilità che il numeri sui dadi sono diversi?
Anche in questo caso, possiamo facilmente risolvere questo problema consultando la tabella sopra. Noterai che le celle in cui i numeri sui dadi sono gli stessi formano una diagonale. Ce ne sono solo sei e una volta cancellati abbiamo le celle rimanenti in cui i numeri sui dadi sono diversi. Possiamo prendere il numero di combinazioni (30) e dividerlo per la dimensione dello spazio campionario (36), ottenendo una probabilità di 5/6.