Quali sono le converse, le contropositive e le inverse?

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Le affermazioni condizionali compaiono ovunque. In matematica o altrove, non ci vuole molto per imbattersi in qualcosa della forma Se P poi Q . Le affermazioni condizionali sono davvero importanti. Ciò che è anche importante sono le affermazioni che sono correlate all'affermazione condizionale originale modificando la posizione di P , Q e la negazione di un'affermazione. Partendo da un'affermazione originale, ci ritroviamo con tre nuove affermazioni condizionali denominate il contrario, il contropositivo e il inverso .

Negazione

Prima di definire il contrario, il contropositivo e l'inverso di un'affermazione condizionale, dobbiamo esaminare il tema della negazione. Ogni affermazione in logica è vero o falso. La negazione di un'affermazione comporta semplicemente l'inserimento della parola non nella parte propria dell'affermazione. L'aggiunta della parola non viene eseguita in modo da modificare lo stato di verità dell'affermazione.

Aiuterà a guardare un esempio. La dichiarazione Il triangolo rettangolo è equilatero ha negazione Il triangolo rettangolo non è equilatero. La negazione di 10 è un numero pari se l'affermazione 10 non è un numero pari. Naturalmente, per quest'ultimo esempio, potremmo usare la definizione di numero dispari e dire invece che 10 è un numero dispari. Notiamo che la verità di un'affermazione è l'opposto di quella della negazione.

Esamineremo questa idea in un contesto più astratto. Quando la dichiarazione P è vero, l'affermazione no P è falso. Allo stesso modo, se P è falso, la sua negazione no P è vero. Le negazioni sono comunemente indicate con una tilde ~. Quindi invece di scrivere no P possiamo scrivere ~ P .

Conversare, Contrapositiva e Inversa

Ora possiamo definire il contrario, il contropositivo e l'inverso di un'affermazione condizionale. Iniziamo con l'affermazione condizionale If P poi Q .

• Il contrario della proposizione condizionale è If Q poi P .
• Il contropositivo della proposizione condizionale è If not Q quindi no P .
• L'inverso della proposizione condizionale è If not P quindi no Q .

Vedremo come funzionano queste affermazioni con un esempio. Supponiamo di iniziare con l'affermazione condizionale Se ieri sera ha piovuto, allora il marciapiede è bagnato.

• Il contrario della proposizione condizionale è Se il marciapiede è bagnato, ieri sera ha piovuto.
• Il contropositivo della dichiarazione condizionale è Se il marciapiede non è bagnato, ieri sera non ha piovuto.
• L'inverso della dichiarazione condizionale è Se ieri notte non ha piovuto, il marciapiede non è bagnato.

Equivalenza logica

Potremmo chiederci perché è importante formare queste altre affermazioni condizionali dalla nostra iniziale. Uno sguardo attento all'esempio sopra rivela qualcosa. Supponiamo che l'affermazione originale Se ieri sera ha piovuto, allora il marciapiede è bagnato sia vera. Anche quale delle altre affermazioni deve essere vera?

• Il contrario Se il marciapiede è bagnato, la scorsa notte ha piovuto non è necessariamente vero. Il marciapiede potrebbe essere bagnato per altri motivi.
• L'inverso Se la notte scorsa non ha piovuto, allora il marciapiede non è bagnato non è necessariamente vero. Anche in questo caso, solo perché non ha piovuto non significa che il marciapiede non sia bagnato.
• Il contropositivo Se il marciapiede non è bagnato, ieri sera non ha piovuto è una vera affermazione.

Ciò che vediamo da questo esempio (e ciò che può essere dimostrato matematicamente) è che un'affermazione condizionale ha lo stesso valore di verità del suo contropositivo. Diciamo che queste due affermazioni sono logicamente equivalenti. Vediamo anche che un'affermazione condizionale non è logicamente equivalente al suo inverso e inverso.

Poiché un'affermazione condizionale e il suo contropositivo sono logicamente equivalenti, possiamo usarlo a nostro vantaggio quando stiamo dimostrando teoremi matematici. Piuttosto che provare direttamente la verità di un'affermazione condizionale, possiamo invece utilizzare la strategia della prova indiretta per dimostrare la verità del contropositivo di tale affermazione. Le prove contrapositive funzionano perché se il contropositivo è vero, a causa dell'equivalenza logica, anche l'affermazione condizionale originale è vera.

Si scopre che anche se il converse e inverse non sono logicamente equivalenti all'affermazione condizionale originale , sono logicamente equivalenti tra loro. C'è una facile spiegazione per questo. Iniziamo con l'affermazione condizionale If Q poi P . Il contropositivo di questa affermazione è Se no P quindi no Q . Poiché l'inverso è il contropositivo dell'inverso, l'inverso e l'inverso sono logicamente equivalenti.