Come usare 'se e solo se' in matematica

Courtney Taylor

Quando si legge di statistica e matematica, una frase che compare regolarmente è se e solo se. Questa frase appare in particolare all'interno di affermazioni di teoremi o dimostrazioni matematiche. Ma cosa significa, precisamente, questa affermazione?

Cosa significa se e solo se in matematica?

Per capire se e solo se, dobbiamo prima sapere cosa si intende per proposizione condizionale. Una proposizione condizionale è quella formata da altre due proposizioni, che indicheremo con P e Q. Per formare una proposizione condizionale, potremmo dire se P allora Q.

I seguenti sono esempi di questo tipo di affermazione:

• Se fuori piove, porto con me il mio ombrello durante la mia passeggiata.
• Se studi duramente, guadagnerai un A.
• Se n è divisibile per 4, allora n è divisibile per 2.

Converse e condizionali

Altre tre affermazioni sono correlate a qualsiasi affermazione condizionale. Questi sono chiamati i inverso, inverso e contropositivo . Formiamo queste affermazioni cambiando l'ordine di P e Q dal condizionale originale e inserendo la parola non per l'inverso e il contropositivo.

Abbiamo solo bisogno di considerare il contrario qui. Questa affermazione si ottiene dall'originale dicendo se Q poi P. Supponiamo di iniziare con il condizionale se fuori piove, allora porto il mio ombrello con me durante la mia passeggiata. Il contrario di questa affermazione è che se porto il mio ombrello con me durante la mia passeggiata, fuori piove.

Abbiamo solo bisogno di considerare questo esempio per renderci conto che il condizionale originale non è logicamente uguale al suo opposto. La confusione di queste due forme di affermazione è nota come a errore inverso . Si potrebbe portare un ombrello a passeggio anche se fuori potrebbe non piovere.

Per un altro esempio, consideriamo il condizionale Se un numero è divisibile per 4 allora è divisibile per 2. Questa affermazione è chiaramente vera. Tuttavia, il contrario di questa affermazione Se un numero è divisibile per 2, allora è divisibile per 4 è falso. Abbiamo solo bisogno di guardare un numero come 6. Sebbene 2 divida questo numero, 4 no. Mentre l'affermazione originale è vera, il suo contrario non lo è.

Bicondizionale

Questo ci porta a un'affermazione bicondizionale, nota anche come affermazione 'se e solo se'. Alcune affermazioni condizionali hanno anche converse che sono vere. In questo caso, possiamo formare ciò che è noto come un'affermazione bicondizionale. Una dichiarazione bicondizionale ha la forma:

Se P allora Q, e se Q allora P.

Da questo costruzione è alquanto imbarazzante, specialmente quando P e Q sono le loro affermazioni logiche, semplifichiamo l'affermazione di un bicondizionale usando la frase 'se e solo se'. Invece di dire 'se P allora Q, e se Q allora P' diciamo invece 'P se e solo se Q.' Questa costruzione elimina una certa ridondanza.

Esempio di statistica

Per un esempio della frase se e solo se si tratta di statistiche, non guardare oltre un fatto riguardante la deviazione standard campionaria. La deviazione standard campionaria di un set di dati è uguale a zero se e solo se tutti i valori dei dati sono identici.

Rompiamo questa affermazione bicondizionale in un condizionale e il suo inverso. Quindi vediamo che questa affermazione significa entrambe le seguenti cose:

• Se la deviazione standard è zero, tutti i valori dei dati sono identici.
• Se tutti i valori dei dati sono identici, la deviazione standard è uguale a zero.

Prova di bicondizionale

Se stiamo tentando di dimostrare un bicondizionale, la maggior parte delle volte finiamo per dividerlo. Questo fa sì che la nostra dimostrazione abbia due parti. Una parte che dimostriamo è se P allora Q. L'altra parte della dimostrazione di cui abbiamo bisogno è se Q allora P.

Condizioni necessarie e sufficienti

Le affermazioni bicondizionali sono legate a condizioni che sono sia necessarie che sufficienti. Considera l'affermazione se oggi è Pasqua , allora domani è lunedì. Oggi essere Pasqua è sufficiente perché domani sia lunedì, ma non è necessario. Oggi potrebbe essere una domenica diversa da Pasqua e domani sarebbe ancora lunedì.

Abbreviazione

La frase se e solo se è usata abbastanza comunemente nella scrittura matematica da avere una propria abbreviazione. A volte il bicondizionale nell'enunciato della frase se e solo se viene abbreviato in semplicemente se. Quindi l'affermazione P se e solo se Q diventa P se Q.