Definizione e uso dell'unione in matematica

Un'operazione che viene spesso utilizzata per formare nuovi insiemi da quelli vecchi è chiamata unione. Nell'uso comune, la parola unione significa un raduno, come i sindacati nel lavoro organizzato o il Stato dell'unione indirizzo che gli Stati Uniti Presidente fa prima di una sessione congiunta del Congresso. In senso matematico, l'unione di due insiemi mantiene questa idea di riunire. Più precisamente, l'unione di due insiemi UN e B è l'insieme di tutti gli elementi X tale che X è un elemento dell'insieme UN o X è un elemento dell'insieme B . La parola che significa che stiamo usando un'unione è la parola 'o.'

La parola 'o'

Quando usiamo la parola 'o' nelle conversazioni quotidiane, potremmo non renderci conto che questa parola viene usata in due modi diversi. Il modo è generalmente dedotto dal contesto della conversazione. Se te lo chiedessero Ti piacerebbe il pollo o la bistecca? la solita implicazione è che potresti avere l'uno o l'altro, ma non entrambi. Contrasta questo con la domanda, vorresti burro o panna acida sulla tua patata al forno? Qui 'o' è usato in senso inclusivo in quanto si può scegliere solo burro, solo panna acida o sia burro che panna acida.

In matematica, la parola 'o' è usata in senso inclusivo. Quindi la dichiarazione, ' X è un elemento di UN o un elemento di B ' significa che uno dei tre è possibile:

• X è un elemento di giusto UN e non un elemento di B
• X è un elemento di giusto B e non un elemento di UN .
• X è un elemento di entrambi UN e B . (Potremmo anche dirlo X è un elemento dell'intersezione di UN e B

Esempio

Per un esempio di come l'unione di due insiemi forma un nuovo insieme, consideriamo gli insiemi UN = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {3, 4, 5, 6, 7, 8}. Per trovare l'unione di questi due insiemi, elenchiamo semplicemente ogni elemento che vediamo, facendo attenzione a non duplicare alcun elemento. I numeri 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 sono in un insieme o nell'altro, quindi l'unione di UN e B è {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}.

Notazione per Unione

Oltre a comprendere i concetti relativi alle operazioni di teoria degli insiemi, è importante essere in grado di leggere i simboli usati per denotare queste operazioni. Il simbolo utilizzato per l'unione dei due insiemi UN e B è dato da UN ∪ B . Un modo per ricordare il simbolo ∪ si riferisce all'unione è notare la sua somiglianza con una U maiuscola, che è l'abbreviazione della parola unione. Attenzione, perché il simbolo di unione è molto simile al simbolo di intersezione . Uno è ottenuto dall'altro da un capovolgimento verticale.

Per vedere questa notazione in azione, fare riferimento all'esempio sopra. Qui avevamo i set UN = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {3, 4, 5, 6, 7, 8}. Quindi scriveremmo l'equazione degli insiemi UN ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}.

Unione con l'insieme vuoto

Un'identità di base che coinvolge l'unione ci mostra cosa succede quando prendiamo l'unione di qualsiasi insieme con l'insieme vuoto, indicato con #8709. L'insieme vuoto è l'insieme senza elementi. Quindi unire questo a qualsiasi altro set non avrà alcun effetto. In altre parole, l'unione di qualsiasi insieme con l'insieme vuoto ci restituirà l'originale

Questa identità diventa ancora più compatta con l'uso della nostra notazione. Abbiamo l'identità: UN ∪ ∅ = UN .

Unione con il set universale

Per l'altro estremo, cosa succede quando esaminiamo il unione di un insieme con il set universale? Poiché l'insieme universale contiene ogni elemento, non possiamo aggiungere nient'altro a questo. Quindi l'unione o qualsiasi insieme con l'insieme universale è l'insieme universale.

Anche in questo caso la nostra notazione ci aiuta a esprimere questa identità in un formato più compatto. Per qualsiasi set UN e l'insieme universale IN , UN ∪ IN = IN .

Altre identità che coinvolgono l'Unione

Ci sono molte più identità stabilite che implicano l'uso dell'operazione sindacale. Certo, fa sempre bene la pratica usando il linguaggio della teoria degli insiemi. Alcuni dei più importanti sono indicati di seguito. Per tutti i set UN , e B e D noi abbiamo:

• Proprietà riflessiva: UN ∪ UN = UN
• Proprietà commutativa: UN ∪ B = B ∪ UN
• Proprietà associativa: ( UN ∪ B ) ∪ D = UN ∪ ( B ∪ D )
• Legge di DeMorgan I: ( UN ∩ B )^C= UN ^C∪ B ^C
• Legge di DeMorgan II: ( UN ∪ B )^C= UN ^C∩ B ^C