Qual è la differenza di due insiemi nella teoria degli insiemi?

La regione rossa del diagramma di Venn indica l'insieme A - B. C.K.Taylor

La differenza di due set, scritta UN - B è l'insieme di tutti gli elementi di UN che non sono elementi di B . L'operazione di differenza, insieme all'unione e all'intersezione, è importante e operazione di teoria degli insiemi fondamentali .

Descrizione della differenza

La sottrazione di un numero da un altro può essere pensata in molti modi diversi. Un modello per aiutare a comprendere questo concetto è chiamato modello da asporto di sottrazione . In questo, il problema 5 - 2 = 3 verrebbe dimostrato partendo da cinque oggetti, rimuovendone due e contando che ne rimanevano tre. Allo stesso modo in cui troviamo la differenza tra due numeri, possiamo trovare la differenza di due insiemi.

Un esempio

Vedremo un esempio della differenza di set. Per vedere come la differenza di due imposta forma un nuovo set, consideriamo gli insiemi UN = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {3, 4, 5, 6, 7, 8}. Per trovare la differenza UN - B di questi due set, iniziamo scrivendo tutti gli elementi di UN , e poi togliere ogni elemento di UN anche questo è un elemento di B . Da UN condivide gli elementi 3, 4 e 5 con B , questo ci dà la differenza di set UN - B = {1, 2}.

L'ordine è importante

Proprio come le differenze 4 - 7 e 7 - 4 ci danno risposte diverse, dobbiamo stare attenti all'ordine in cui calcoliamo la differenza di insieme. Per usare un termine tecnico dalla matematica, diremmo che l'operazione sugli insiemi della differenza non è commutativa. Ciò significa che in generale non possiamo cambiare l'ordine della differenza di due insiemi e aspettarci lo stesso risultato. Possiamo affermarlo più precisamente per tutti gli insiemi UN e B , UN - B non è uguale a B - UN .

Per vedere questo, fare riferimento all'esempio sopra. Lo abbiamo calcolato per i set UN = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {3, 4, 5, 6, 7, 8}, la differenza UN - B = {1, 2}. Per confrontare questo a B - UN, iniziamo con gli elementi di B , che sono 3, 4, 5, 6, 7, 8, quindi rimuovere il 3, il 4 e il 5 perché sono in comune con UN . Il risultato è B - UN = {6, 7, 8}. Questo esempio ce lo mostra chiaramente A - B non è uguale a B-A .

Il complemento

Un tipo di differenza è abbastanza importante da giustificare il proprio nome e simbolo speciali. Questo è chiamato complemento e viene utilizzato per la differenza di insieme quando il primo set è l'insieme universale. Il complemento di UN è dato dall'espressione IN - UN . Questo si riferisce all'insieme di tutti gli elementi nell'insieme universale che non sono elementi di UN . Poiché resta inteso che il insieme di elementi tra cui possiamo scegliere sono presi dall'insieme universale, possiamo semplicemente dire che il complemento di UN è l'insieme composto da elementi che non sono elementi di UN .

Il complemento di un insieme è relativo all'insieme universale con cui stiamo lavorando. Insieme a UN = {1, 2, 3} e IN = {1, 2 ,3, 4, 5}, il complemento di UN è {4, 5}. Se il nostro insieme universale è diverso, diciamo IN = {-3, -2, 0, 1, 2, 3 }, quindi il complemento di UN {-3, -2, -1, 0}. Assicurati sempre di prestare attenzione a quale set universale viene utilizzato.

Notazione per il complemento

La parola 'complemento' inizia con la lettera C, e quindi viene usata nella notazione. Il complemento dell'insieme UN è scritto come UN ^C. Quindi possiamo esprimere la definizione del complemento in simboli come: UN ^C= IN - UN .

Un altro modo comunemente usato per denotare il complemento di un insieme prevede un apostrofo, ed è scritto come UN '.

Altre identità che coinvolgono la differenza e complementi

Esistono molte identità di insieme che implicano l'uso della differenza e delle operazioni di complemento. Alcune identità combinano altre operazioni sugli insiemi come il intersezione e unione . Alcuni dei più importanti sono indicati di seguito. Per tutti i set UN , e B e D noi abbiamo:

• UN - UN =∅
• UN - ∅ = UN
• ∅ - UN = ∅
• UN - IN = ∅
• ( UN ^C)^C= UN
• Legge di DeMorgan I: ( UN ∩ B )^C= UN ^C∪ B ^C
• Legge di DeMorgan II: ( UN ∪ B )^C= UN ^C∩ B ^C