Formule del momento di inerzia

Il momento d'inerzia di un oggetto è un valore numerico che può essere calcolato per qualsiasi corpo rigido che sta subendo una rotazione fisica attorno ad un asse fisso. Si basa non solo sulla forma fisica dell'oggetto e sulla sua distribuzione di massa, ma anche sulla configurazione specifica di come l'oggetto sta ruotando. Quindi lo stesso oggetto che ruota in modi diversi avrebbe un momento di inerzia diverso in ogni situazione.

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Formula generale

La formula generale per ricavare il momento d'inerzia. Andrew Zimmerman Jones

La formula generale rappresenta la comprensione concettuale più elementare del momento di inerzia. Fondamentalmente, per qualsiasi oggetto rotante, il momento di inerzia può essere calcolato prendendo la distanza di ciascuna particella dall'asse di rotazione ( r nell'equazione), quadrando quel valore (questo è il r ^Duetermine) e moltiplicandolo per il messa di quella particella. Lo fai per tutte le particelle che compongono l'oggetto rotante e poi aggiungi quei valori insieme, e questo dà il momento di inerzia.

La conseguenza di questa formula è che lo stesso oggetto ottiene un valore di momento di inerzia diverso, a seconda di come sta ruotando. Un nuovo asse di rotazione finisce con una formula diversa, anche se la forma fisica dell'oggetto rimane la stessa.

Questa formula è l'approccio più 'forza bruta' per calcolare il momento di inerzia. Le altre formule fornite sono generalmente più utili e rappresentano le situazioni più comuni in cui si imbattono i fisici.

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Formula completa

La formula generale è utile se l'oggetto può essere trattato come un insieme di punti discreti che possono essere sommati. Per un oggetto più elaborato, tuttavia, potrebbe essere necessario applicare calcolo prendere l'integrale su un intero volume. La variabile r è il raggio vettore dal punto all'asse di rotazione. La formula p ( r ) è la funzione di densità di massa in ciascun punto r:

I-sub-P è uguale alla somma di i da 1 a N della quantità m-sub-i per r-sub-i al quadrato.

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Sfera solida

Una sfera solida rotante su un asse che passa per il centro della sfera, con massa M e raggio R , ha un momento di inerzia determinato dalla formula:

io = (2/5) SIG ^Due

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Sfera cava a parete sottile

Una sfera cava con una parete sottile e trascurabile rotante su un asse che passa per il centro della sfera, con massa M e raggio R , ha un momento di inerzia determinato dalla formula:

io = (2/3) SIG ^Due

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Cilindro solido

Un cilindro solido rotante su un asse che passa per il centro del cilindro, con massa M e raggio R , ha un momento di inerzia determinato dalla formula:

io = (1/2) SIG ^Due

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Cilindro cavo a parete sottile

Un cilindro cavo con una parete sottile, trascurabile, rotante su un asse passante per il centro del cilindro, con massa M e raggio R , ha un momento di inerzia determinato dalla formula:

io = SIG ^Due

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Cilindro cavo

Un cilindro cavo con rotazione su un asse che passa per il centro del cilindro, con massa M , raggio interno R ₁, e raggio esterno R _Due, ha un momento di inerzia determinato dalla formula:

io = (1/2) M ( R ₁^Due+ R _Due^Due)

Nota: Se hai preso questa formula e hai impostato R ₁= R _Due= R (o, più appropriatamente, ha preso il limite matematico come R ₁e R _Dueavvicinarsi a un raggio comune R ), otterresti la formula per il momento di inerzia di un cilindro cavo a pareti sottili.

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Piastra rettangolare, asse passante centrale

Una sottile piastra rettangolare, rotante su un asse perpendicolare al centro della piastra, con massa M e lunghezze laterali un e b , ha un momento di inerzia determinato dalla formula:

io = (1/12) M ( un ^Due+ b ^Due)

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Piatto rettangolare, asse lungo il bordo

Una sottile piastra rettangolare, rotante su un asse lungo un bordo della piastra, con massa M e lunghezze laterali un e b , dove un è la distanza perpendicolare all'asse di rotazione, ha un momento di inerzia determinato dalla formula:

io = (1/3) E ^Due

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Stelo snello, asse passante al centro

Un'asta sottile rotante su un asse che passa per il centro dell'asta (perpendicolare alla sua lunghezza), con massa M e lunghezza l , ha un momento di inerzia determinato dalla formula:

io = (1/12) ML ^Due

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Stelo snello, asse attraverso un'estremità

Un'asta sottile rotante su un asse che passa attraverso l'estremità dell'asta (perpendicolare alla sua lunghezza), con massa M e lunghezza l , ha un momento di inerzia determinato dalla formula:

io = (1/3) ML ^Due