Qual è il set di alimentazione?

Una domanda dentro insiemistica è se un insieme è un sottoinsieme di un altro insieme. Un sottoinsieme di UN è un insieme formato utilizzando alcuni degli elementi dell'insieme UN . In ordine per B essere un sottoinsieme di UN , ogni elemento di B deve essere anche un elemento di UN .

Ogni set ha diversi sottoinsiemi. A volte è desiderabile conoscere tutti i sottoinsiemi possibili. Una costruzione nota come power set aiuta in questo sforzo. Il set di potenza del set UN è un insieme con elementi che sono anche insiemi. Questo insieme di potenze formato includendo tutti i sottoinsiemi di un dato insieme UN .

Esempio 1

Considereremo due esempi di power set. Per il primo, se iniziamo con il set UN = {1, 2, 3}, allora qual è la potenza impostata? Continuiamo elencando tutti i sottoinsiemi di UN .

• Il set vuoto è un sottoinsieme di UN . Infatti il l'insieme vuoto è un sottoinsieme di ogni insieme . Questo è l'unico sottoinsieme senza elementi di UN .
• Gli insiemi {1}, {2}, {3} sono gli unici sottoinsiemi di UN con un elemento.
• Gli insiemi {1, 2}, {1, 3}, {2, 3} sono gli unici sottoinsiemi di UN con due elementi.
• Ogni insieme è un sottoinsieme di se stesso. così UN = {1, 2, 3} è un sottoinsieme di UN . Questo è l'unico sottoinsieme con tre elementi.

UN UN UN

Esempio 2

Per il secondo esempio consideriamo l'insieme delle potenze di B ={1, 2, 3, 4}. Molto di ciò che abbiamo detto sopra è simile, se non identico ora:

• Il set vuoto e B sono entrambi sottoinsiemi.
• Poiché ci sono quattro elementi di B , ci sono quattro sottoinsiemi con un elemento: {1}, {2}, {3}, {4}.
• Poiché ogni sottoinsieme di tre elementi può essere formato eliminando un elemento da B e ci sono quattro elementi, ci sono quattro di questi sottoinsiemi: {1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {1, 3, 4}, {2, 3, 4}.
• Resta da determinare i sottoinsiemi con due elementi. Stiamo formando un sottoinsieme di due elementi scelti da un insieme di 4. Questa è una combinazione e ci sono C (4, 2 ) =6 di queste combinazioni. I sottoinsiemi sono: {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}.

B B

Notazione

Ci sono due modi in cui l'insieme di potenza di un set UN è indicato. Un modo per denotarlo è usare il simbolo P ( UN ), dove a volte questa lettera P è scritto con uno script stilizzato. Un'altra notazione per il power set di UN è 2 ^UN . Questa notazione viene utilizzata per collegare il power set al numero di elementi nel power set.

Dimensioni del set di alimentazione

Esamineremo ulteriormente questa notazione. Se UN è un insieme finito con n elementi, quindi il suo insieme di potenza PAPÀ ) avrà 2 ⁿ elementi. Se stiamo lavorando con un insieme infinito, non è utile pensare a 2 ⁿ elementi. Tuttavia, un teorema di Cantor ci dice che la cardinalità di un insieme e il suo insieme di potenze non possono essere gli stessi.

In matematica era una questione aperta se la cardinalità dell'insieme di potenze di un insieme numerabile infinito corrispondesse alla cardinalità dei reali. La risoluzione di questa domanda è piuttosto tecnica, ma dice che possiamo scegliere di fare questa identificazione delle cardinalità o meno. Entrambi portano a una teoria matematica coerente.

Il potere imposta nella probabilità

Il tema della probabilità si basa sulla teoria degli insiemi. Invece di riferirci a insiemi e sottoinsiemi universali, parliamo invece di spazi campionari e eventi . A volte, quando si lavora con uno spazio campionario, desideriamo determinare gli eventi di quello spazio campionario. Il power set dello spazio campionario che abbiamo ci darà tutti i possibili eventi.