Insiemistica

Gli eventi A e B si escludono a vicenda. CK Taylor

La teoria degli insiemi è un concetto fondamentale in tutta la matematica. Questa branca della matematica costituisce una base per altri argomenti.

Intuitivamente un insieme è un insieme di oggetti, che sono chiamati elementi. Anche se questa sembra un'idea semplice, ha alcune conseguenze di vasta portata.

Elementi

Gli elementi di un set possono davvero essere qualsiasi cosa: numeri, stati, automobili, persone o anche altri set sono tutte possibilità per gli elementi. Quasi tutto ciò che può essere raccolto insieme può essere usato per formare un set, anche se ci sono alcune cose a cui dobbiamo stare attenti.

Insiemi uguali

Gli elementi di un insieme sono in un insieme o non in un insieme. Possiamo descrivere un insieme da una proprietà di definizione, oppure possiamo elencare gli elementi nell'insieme. L'ordine in cui sono elencati non è importante. Quindi gli insiemi {1, 2, 3} e {1, 3, 2} sono insiemi uguali, perché entrambi contengono gli stessi elementi.

Due set speciali

Due set meritano una menzione speciale. Il primo è l'insieme universale, tipicamente indicato IN . Questo set è tutti gli elementi tra cui possiamo scegliere. Questo set potrebbe essere diverso da un'impostazione all'altra. Ad esempio, un insieme universale può essere l'insieme di numeri reali mentre per un altro problema l'insieme universale può essere i numeri interi {0, 1, 2,...}.

L'altro set che richiede una certa attenzione è chiamato il set vuoto . L'insieme vuoto è l'insieme unico è l'insieme senza elementi. Possiamo scriverlo come { } e denotare questo insieme con il simbolo ∅.

Sottoinsiemi e Power Set

Una raccolta di alcuni degli elementi di un set UN si chiama a sottoinsieme di UN . Lo diciamo UN è un sottoinsieme di B se e solo se ogni elemento di UN è anche un elemento di B . Se ci sono un numero finito n di elementi in un insieme, allora ci sono un totale di 2 ⁿ sottoinsiemi di UN . Questa raccolta di tutti i sottoinsiemi di UN è un insieme chiamato il set di potenza di UN .

Impostare le operazioni

Proprio come possiamo eseguire operazioni come l'addizione - su due numeri per ottenere un nuovo numero, le operazioni di teoria degli insiemi vengono utilizzate per formare un insieme da altri due insiemi. Ci sono un certo numero di operazioni, ma quasi tutte sono composte dalle seguenti tre operazioni:

• Unione – Un'unione significa un'unione. L'unione degli insiemi UN e B consiste degli elementi che sono in entrambi UN o B .
• Intersezione - Un incrocio è il punto in cui due cose si incontrano. L'intersezione degli insiemi UN e B consiste degli elementi che in entrambi UN e B .
• Complemento - Il complemento dell'insieme UN consiste di tutti gli elementi nell'insieme universale che non sono elementi di UN .

Diagrammi di Venn

Uno strumento utile per rappresentare la relazione tra diversi insiemi è chiamato diagramma di Venn. Un rettangolo rappresenta l'insieme universale per il nostro problema. Ogni set è rappresentato con un cerchio. Se i cerchi si sovrappongono, questo illustra l'intersezione dei nostri due insiemi.

Applicazioni della Teoria degli Insiemi

La teoria degli insiemi è usata in tutta la matematica. È usato come base per molti sottocampi della matematica. Nelle aree relative alla statistica, è particolarmente utilizzato nella probabilità. Gran parte dei concetti di probabilità derivano dalle conseguenze della teoria degli insiemi. In effetti, un modo per affermare il assiomi di probabilità coinvolge la teoria degli insiemi.